Nie ma takich już niestety, ew. można szukać jeszcze ze świecą w popierdółko-wynalazkach typu nest albo klonach/klątwach p. Czarneckiego (getout i idea).
Wszyscy inni, jak nie załapałeś się na promocję, powprowadzali analogicznie pułapki :(

Dostęp przez net i darmowe przelewy są w każdym banku, choć nie w każdym prowadzenie konta będzie za darmo - lub trzeba spełnić warunki.

Obecnie mam konta w 6 bankach, żadne wszystkich Twoich warunków nie spełni - ale może da się skleić funkcjonalności 2 rachunków - bo backup trzeba mieć, choćby po to, żeby jak bankowi coś odbije, nie musieć szukać na gwałt w ciągu 2 miesięcy czegoś nowego.

Inteligo - prowadzenie za darmo, obsługa kasowa w oddziale za darmo - ale wypłaty tylko jeśli masz debetówkę, debetówka - wymaga wydania 100zł miesięcznie albo kosztuje 4zł, za darmo bankomaty pko i wbk. Do tego apka IKO z blikiem i HCE - można sobie "zwirtualizować" debetówkę (ale jeśli nie masz fizycznej debetówki to i HCE mieć nie będziesz - za to transakcje kartą HCE wliczają się do sumy zwalniającej z opłat za debetówkę).

DeutscheBank - prowadzenie za darmo (ale tylko konta dbNet, zakładanego przez wniosek w necie i kuriera), obsługa kasowa w oddziale za darmo, ale z debetówkami bieda - wymagają wydania 500 lub nawet 700zł, i już nie wszystkie bankomaty są za darmo.

mBąk - prowadzenie za darmo, obsługa kasowa nie, debetówka za darmo jeśli zrobisz 5 transakcji na miesiąc, bankomaty euronet, planet cash i wbk za darmo przy wypłacie ponad 100zł. Jest też apka z blikiem - to ważne, bo dochodzą darmowe bankomaty pko, mille, ing - a także każda wypłata bezpłatna, bez względu na sumę, więc można się bez debetówki obejść (do wpłatomatów można mieć zastrzeżoną, wtedy nie pobierają opłaty). Ew. jeśli masz zamiar przelewać wynagrodzenie, to możesz się przyjrzeć kontom aquarius - jest szansa np. na darmową obsługę kasową.

VW Bank - prowadzenie za darmo, obsługa kasowa nie - z resztą kasa jest jedna na całą Polskę, debetówka za darmo, wszystkie bankomaty za darmo przy wypłacie powyżej 400zł.

Kantor aliora - to taka ciekawostka, prowadzenie za darmo, obsługa kasowa za darmo, ale nie ma debetówek złotówkowych.

Citi priority - tutaj prowadzenie 30zł/mc (zwalnia z opłaty depozyt 30k - ale przy %, jaki oferują, wychodzi tak, że i tak 30zł/mc się traci, i nawet niewiele pomoże konto super-oszczędnościowe, które jest za darmo jak się przelewa wynagrodzenie ponad 3k, bo 1,5% jest tylko do 20k, pozostałe 10k trzeba trzymać na 0,8%) (druga możliwość zwolnienia z opłaty to wzięcie kredytu - może być darmowa KK simplicity, dają każdemu - oraz miesięczne wpływy 5k - nie musi to być wynagrodzenie, może być ping-pong), obsługa kasowa za darmo (ale oddziałów coraz mniej), debetówka za darmo (z możliwością podłączenia do kont walutowych), wszystkie bankomaty za darmo.

HTH